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86896
Marice
Marice (Rang: Nobelpreisträgerin)

Wiso treffen sich Parallelen im Unendlichen?

In der Mathematik heißt es: Zwei Parallelen treffen sich im Unendlichen.
Meine Oma meint dann immer genervt: Dann wärn es ja keine Parallelen mehr. Ich versteh es auch nich so recht. Kann es mir jemand erklären, wieso das so sein soll?

Ein Dank dem Mathegenius, der mich vor einer schlaflosen Nacht des Grübelns bewahrt :)
Wär schön, wenn es eine nachvollziehbare Quelle gibt ^^

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5 Antworten

114500
Klassenclown07

Klassenclown07

Rang: Einsteiger (17) | Mathematik (5)

6 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (23.05.2007 16:47)

1

"Häufig wird von parallelen Geraden gesagt, dass sie sich „im Unendlichen“ schneiden. Diese Aussage bekommt einen präzisen Sinn, wenn der euklidische Raum zu einem projektiven Raum erweitert wird."

"In der projektiven Geometrie der Ebene wird die bekannte euklidische Ebene um zusätzliche Punkte ergänzt: Zu jeder Klasse paralleler Geraden wird ein so genannter unendlich ferner Punkt definiert, der die Richtung dieser Geraden angibt. Alle diese unendlich fernen Punkte bilden die unendlich ferne Gerade. Im Gegensatz zur Euklidischen Geometrie schneiden sich in der projektiven Geometrie zwei Geraden stets in einem Punkt. Zwei nicht parallele Geraden schneiden sich in ihrem aus der euklidischen Geometrie bekannten Schnittpunkt, zwei parallele Geraden schneiden sich in ihrem gemeinsamen Fernpunkt, und eine gewöhnliche Gerade und die Ferngerade schneiden sich im Fernpunkt der Geraden."

Quellen: http://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie kopieren
http://de.wikipedia.org/wiki/Projektive_Geometrie kopieren

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21758
JoKing87

JoKing87

Rang: Nobelpreisträger (5.774) | Mathematik (53)

6 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (23.05.2007 16:47)

2

naja, das unendliche wird nie erreicht!

Dass sich 2 Parallelen treffen wird nie erreicht.

Also treffen sich 2 Parallelen im Unendlichen.


Oder anders: Im negativen unendlichen ist die e^x Funktion Null. Da sie aber niemals das unendliche erreichen kann, kann sie auch niemals 0 werden.


Ergänzung vom 23.05.2007 16:48:

das bedeutet also nichts anderes: Solange sich die 2 Parallelen nicht im unendlichen befinden, also überall, wo es messbar ist, dort treffen sie sich nicht!

2 Kommentare

86896
Marice
Marice

Ich wollte doch keine Gegentheorie sondern die Erklärung für die genannte :)
Die Theorie sagt, sie treffen sich im Unendlichen und das möcht ich verstehen.
Abgesehen davon, find ich deine Erklärung auch logich, ich wollt nur dehen, wie die auf den Treffen-sich-Kram kommen... ^^

101398
Lagrange
Lagrange

Der Schluss ist weder logisch noch einleuchtend, aus zwei negativen Aussagen ergibt sich noch lange keine Positive.

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111725
mrhuss799

mrhuss799

Rang: Student (286) | Mathematik (125)

18 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (24.05.2007 10:20)

3

Das ganze wird relativ anschaulich, wenn man mit homogenen Koordinaten rechnet.

Bei homogenen Koordinaten werden Punkte als Vektoren dargestellt, die immer eine Zeile mehr haben als es Dimensionen im Raum gibt.

Dabei gilt:

(x,y) als Punkt in 2D wird zu (x, y, 1) als Punkt in 2D in homogenen Koordinaten, und umgekehrt wird (x,y,h) zu (x/h, y/h).

Falls h = 0 ist das als ein Punkt im Unendlichen definiert, da wenn h gegen 0 geht x/h und y/h gegen undendlich gehen.

Geraden lassen sich in homogenen Koordinaten auch als ein Vektor darstellen, dabei gilt:

ax + bx + c = 0 wird zu (a, b, c)

Der Schnittpunkt zwischen zwei Geraden wird in homogenen Koordinaten als das Kreuzprodukt der beiden Geradenvektoren berechnet. Wenn man den Schnittpunkt zweier paralleler Geraden berechnet, kommt dabei immer ein Vektor der Form (x,y,0) raus, also ein Punkt im Unendlichen.

Ich hoffe, das ist in dieser Kürze verständlich, mehr kann ich hier leider nicht bringen, mit dem Rechnen mit homogenen Koordinaten läßt sich die ein oder andere Vorlesung füllen.

Homogene Koordinaten werden übrigens sehr gerne in der Computergrafik eingesetzt, da die meisten elementaren Operationen entweder als Punkt- oder als Kreuzprodukt zweier Vektoren oder allgemeiner als Matrizenmultiplikation berechnet werden können.

Bei der Schnittpunktberechnung ist übrigens ein Vorteil von homogenen Koordinaten, daß man nicht erst aufwendig vor der Berechnung auf Parallelität prüfen muß, um eine Division durch Null zu vermeiden. Man rechnet einfach den Schnittpunkt aus und prüft hinterher ob h = 0.

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30544
MichelGausS

MichelGausS

Rang: Bachelor (813) | Mathematik (201)

18 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (24.05.2007 10:29)

4

Es stimmt nur zum Teil. Das ist das verwirrende daran.
Grundsätzlich basiert die Mathematik auf gewissen Annahmen, die man nicht beweisen kann. Aus diesen Annahmen beweist man dann alles andere. Das muss man bei diesem Problem wissen.

Unsere "gewöhnliche" Geometrie basiert auf Euklid, einem Mathematiker aus dem alten Griechenland. Dieser stellte einige Axiome (Annahmen) auf, und hat daraus die uns gängige Geometrie entwickelt. Allerdings sind solche Axiome immer unschön und es wird versucht so wenige davon zu haben wie möglich.

Eines dieser Axiome definiert Parallele:
In einer Ebene α gibt es zu jeder Geraden g und jedem Punkt S (außerhalb von g) genau eine Gerade, die zu g parallel ist und durch den Punkt S geht.
Heist, es gibt Parallele, die sich nie Schneiden (Keinen Punkt gemeinsam haben)
Das richtige Axiom ist allerdings ziemlich lang und deshalb wird es als unschön empfunden. Viele Leute haben versucht es zu beweisen, ohne Erfolg.

Und schließlich kam einer der Mathematiker auf eine neue Idee, er bewies, das man auch ohne dieses Axiom eine gute Mathematik betreiben kann, eine neue, nichteuklidsche Geometrie. Er behauptete einfach, Parallele schneiden sich im Unendlichen. Da das Unendliche nie erreicht wird können wir diese Aussage nicht wiederlegen.

Daraus folgt: In der "normalen" Geometrie schneiden sich Parallele NIE, das verstößt gegen ein Axiom.
ABER ist Geometrie in der sich Parallele schneiden. Dabei sind die Vorstellungen in dieser Geometrie anders. Man stellt sich vor, das die Fläche z.B. auf eine Kugel projeziert wird. (Deshalb sehen Rechtecke anders aus). Dieses Phänomen hat zuerst Gauss entdeckt, als er feststellte, dass bei Winkelmessungen auf einer Kugel (Landvermessungen) die Winkelsumme in einem Dreieck nicht zwangsläufig 180° ist.

Also hat deine Oma recht, solange man sich in einem normalen, nicht gebogenen Raum befindet.

Mfg Michel

PS.: Die Relativitätstherorie benutzt z.B. auch nichteuklidsche Geometrie.

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89835
deaktivierter_User

deaktivierter_User

Rang: Professor (5.138) | Mathematik (134)

7 Tage nachdem die Frage gestellt worden ist (30.05.2007 16:37)

5

weil sie (im Endlichen) bis dahin parallel nebeneinander herlaufen. Erst im Unendlichen, also garnicht, kreuzen sie sich.

2 Kommentare

86896
Marice
Marice

???

89835
deaktivierter_User
deaktivierter_User

Ist halt so, wie es ist. Kann es auch nicht einfacher erklären, als es bereits ist.

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