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210691
QueenGebbi
QueenGebbi (Rang: Mileva Einstein)

Wie kann man mathematische Funktionen auf "Asymptoten" untersuchen?

Ich war heute krank, also nicht in der Schule. & jetzt ist die Hausaufgabe, Funktionen auf Asymptoten zu untersuchen. Das ist ein neues Thema & ich hab noch nie von Asymptoten gehört!
Wie macht man das? kann mir das jemand an einem beispiel f(x)=2^x-3 erklären?

2 Antworten

717274
j4y-ger

j4y-ger

Rang: Albert Schweitzer (8.060) | Mathematik (378)

67 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (10.11.2009 17:25)

1

Hallo,
die erste Antwort ist zwar soweit korrekt, allerdings schon recht fortgeschritten.
Aufgrund deiner Tags vermute ich dass du "erst" in der 10. Klasse bist ;)
Da reicht folgendes aus:
Asymptoten sind Geraden, an die sich eine Funktion annähert, aber nie berührt. Um herauszufinden, wo solche asymptoten liegen, untersucht man am besten "Extremwerte einer Funktion" - also entweder extrem hohe oder extrem niedrige Werte.
Für dein Beispiel: f(x)=2^x-3
extrem hohe Werte: 2^x wird immer größer je größer die Zahlen werden, die ich einsetze (das -3 brauche ich in diesem Fall gar nicht mehr betrachten... wenn ich von einer extrem hohen Zahl 3 abziehe, macht das quasi gar nix aus). Die Funktion wird also immer größer. Hier ist es nicht möglich eine Gerade festzulegen.
Extrem niedrige Werte: Wenn ich zb. -100 für x einsetze steht da 2^(-100) = 1/(2^100). 2^00 ist eine sehr große Zahl, also wird hier die 1 durch eine große Zahl dividiert. Die Zahl ist also ziemlich klein, fast schon 0. 2^x ergibt also nun eine Zahl die fast 0 ist. Wenn ich nun von fast null 3 abziehe (in diesem Fall spielt also das -3 noch eine Rolle) habe ich da fast -3 stehen. Daraus kann ich schließen: Für extrem niedrige Werte nähert sich die Funktion der -3 an, erreicht sie aber nie. Damit ist y=-3 (entspricht einer waagerechten Gerade) eine Asymptote für die Funktion.

Ein weiterer Fall kann noch eintreten: Die Funktion kann eine sogennante "Definitionslücke" haben. f(x) = 1/x ist zb. für 0 nicht definiert. In diexem Fall ist x=0 (senkrechte Gerade, entspricht der y Achse eine Asymptote).

Bei Fragen, fragen. Ansonsten viel "Spaß" noch mit Mathe ;)

1 Kommentar

210691
QueenGebbi
QueenGebbi

du meine güte!
wow danke für die lange & schnelle antwort
ich werds gleich mal versuchen!
danke!

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792502
Hurrai

Hurrai

Rang: Bachelor (745) | Mathematik (484), Gymnasium (7), 10 (5)

24 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (10.11.2009 16:42)

2

zur asymptotenberechnung ein paar regeln:
n ist der höchste grad im zähler und m der höchste grad im nenner

fall 1: wenn n um 1 größer m, liegt eine schräge asymptote vor, die sich durch polynomdivision berechnen lässt.

beispiel: f(x)=x²/(x+1)
polynomdivision ergibt:
x² : (x+1) = x-1 + 1/(x+1)

für lim (x->+/- oo) nähert sich der graph x-1 an. die asymptote ist also x-1

fall 2: n = m. in diesem fall liegt eine waagerechte asymptote vor, die man mittels koeffizientenvergleich bestimmen kann.

beispiel: g(x)=2x²/1x²
asymptote ist gleich a(x)= 2 / 1 = 2

fall 3: n kleiner m. die asymptote ist gleich die x-achse.

http://www.matheboard.de/archive/1331/thread.html kopieren

Also in dem fall dann Polynomdivision? naja ehrlich gesagt keine ahnung aber vieleicht hilfts dir ja zumindest bischen weiter :p

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