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(Gast170766)

Die Stammfunktion vom Tan ist doch --> F(tanx) = -ln(cosx) ??? Falls ja, wie so ist das so ? Sprich wie kam man darauf..habt ihr irgendwelche Nachweise ???

Habe im Internet was von Substitutionsmethode dabei gelesen, aber kein rechenweg der mir das zeigen könnte ?!


Ergänzung vom 02.03.2010 18:57:

schon mal danke xD
aber ich verstehe die letzte zeile nicht so ganz ???
also dir ersten sind klar, aber die dritte ? :D


Ergänzung vom 02.03.2010 23:44:

@ hjk 1001 :
ich verstehe alles, bis auf diesen schritt --> -∫1/t dt = -ln|t|

wie kommt man darauf das das integral aus 1/t = ln * t ist ???
ist ln *t die stammfunktion von 1/t oder wie ^^ ???

2 Antworten

651546
hjk1001

hjk1001

Rang: Albert Einstein6 (84.515) | Mathematik (43.501), Stammfunktion (186), tangens (74)

58 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (01.03.2010 22:10)

1

f(x) = tanx = sinx/cosx
Substitution t = cosx => dt/dx = -sinx => sinxdx = -dt
∫tanxdx = ∫-1/t*dt = -ln|t| + c' = -ln|cosx| +c


Ergänzung vom 02.03.2010 22:58:

Zu Deiner Ergänzung von 18:57
∫tanxdx = ∫sinx/cosx dx = ∫sinxdx/cosx = ∫-dt/t = -∫1/t dt = -ln|t|...


Ergänzung vom 02.03.2010 23:51:

Ja klar: Ableitung von lnx ist 1/x.

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alfonsdreizehn

alfonsdreizehn

Rang: T.A. Edison (10.854) | Mathematik (5.429), Stammfunktion (17), tangens (7)

23 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (02.03.2010 19:15)

2

Satz von Euler;


exp ( +/- ix ) = cos ( x ) +/- i sin ( x ) ( 1 )


Du kannst ( 1 ) formal nach den beiden Unbekannten cos und sin auflösen; steht im Bronstein.




sin ( x ) = 1/2i [ exp ( + i x ) - exp ( - i x ) ] ( 2a )

cos ( x ) = 1/2 [ exp ( + i x ) + exp ( - i x ) ] ( 2b )




Wir setzen


z := exp ( 2 i x ) ( 3a )

tg ( x ) := ( 3b )

sin ( x )
--------- = ( 3c )
cos ( x )

z - 1
------------ ( 3d )
i ( z + 1 )

( dz / dx ) = 2 i z ( 3e )




Demnach finden wir für das gesuchte Integral



INTEGRAL tg ( x ) dx = - ½ INTEGRAL ( z – 1 ) / z ( z + 1 ) dz ( 4 )



Wie euch nicht unbekannt sein dürfte, ist ( 4 ) ein Fall für die Teilbruchzerlegung ( TZ )



z - 1
------------ = ( 5a )
z ( z + 1 )

A / z + B / ( z + 1 ) ( 5b )




So hat z.B. Wolfram ein KI-Programm installiert, das für die TZ mit beeindruckenden Matrixhierarchien und einer gewaltigen Zahl von Unbekannten auf wartet. Dieses Gleichungssystem leitet sich ursprünglich von dem abstrakten Existenz-und Eindeutigkeitsbeweis der TZ her; die Notwendigkeit eines solchen Beweises verkenne ich ja nicht. Allein die Bedürfnisse der Praxis gehen in eine andere Richtung; gefordert ist ein Kalkül, der gerade umgekehrt die Verkopplung einer Unzahl von Unbekannten vermeidet.
Mir sind einfach aus der Funktionentheorie ( FT ) Residuen bekannt, von denen ein Schüler selbst redend noch nie etwas gehört haben kann. Eine harmlos klingende Frage in Lycos brachte mich auf die Spur. Wie kann man das Verhalten einer gebrochen rationalen Funktion in der Nähe ihrer Polstellen beschreiben? Wann wechselt sie von ( +°° ) nach ( -°° ) , wann umgekehrt?
Folgender ad-hoc-Ansatz. Betrachten wir in ( 5b ) die Polstelle z2 = 0. Dann definiere ich in ( 5a ) den zu z2 adjungierten Integralkern G ( das ist jetzt nur ein Wort; definieren kann ich, was ich will )




G ( z ; z2 = 0 ) := ( z – 1 ) / ( z + 1 ) ( 6a )

( 5a ) = 1/z G ( z ; z2 ) ( 6b )




Der Term, der schuld daran ist, dass ( 6b ) singular wird bei z2 = 0, ist eindeutig 1/z. Unter dem Integralkern wollen wir den Restfaktor verstehen, gewisser Maßen alles ‚Übrige‘ , was sich in der Umgebung des Pols regulär verhält. Im Vergleich zu 1/z ändert sich G in der Umgebung der Singularität nur langsam; bleibt in erster Näherung konstant.



z ( = ) 0 ======> ( 5a ) ( = ) 1/z G ( z2 ; z2 ) = - 1/z ( 7 )



Das Symbol ( = ) möge bedeuten: ist ungefähr gleich.



Ganz entsprechend erhält man




G ( z ; z1 = -1 ) = ( z - 1 ) / z ( 8a )



z ( = ) -1 ======> ( 5a ) ( = ) 1 / ( z + 1 ) G ( z1 ; z1 ) = 2 / ( z + 1 ) ( 8b )



Das Überraschende; man überzeugt sich leicht, dass ( 7;8b ) bereits die Darstellung der TZ in ( 5b ) ergibt:






G ( z1 ; z1 ) = B ; G ( z2 ; z2 ) = A ( 9 )



Ist das immer so; ich meine auch noch bei einer Million Polstellen. Ja. Warum, das konnte ich sofort im Kopf entscheiden. Um das einzusehen, muss ich hier das einschieben, was man in der Uni einen Steilkurs nennen würde. Thema: FT und Residuen.
Die FT befasst sich mit den Funktionen w = w ( z ) , die differenzierbar sind auf der gesamten komplexen Ebene |C ; uns würde schon genügen Differenzierbarkeit im Inneren eines gegebenen Kreises.
Dann definiere ich



F ( z ; z0 ) := 1/ 2*Pi*i w ( z ) / ( z – z0 ) ( 10 )



F besitzt einen einfachen Pol in z0. Unter dem Residuum von F ( in z0 ) wollen wir das Integral verstehen




Res F | z0 := INTEGRAL F ( z ; z0 ) dz ( 11 )


Ergänzung vom 02.03.2010 19:29:

( max Zeichen )
Integriert wird hierbei über den Rand eines ( zunächst beliebigen ) Kreises ( Der Kreis kann auch n-eckig oder elliptisch sein ) einmal um ( + 360 ° ) Wie dieses Integral genau zu verstehen ist; damit wollen wir uns hier nicht groß auf halten. Die ======> Cauchysche Integralformel ( CI ) jedenfalls besagt, dass dieses Residuum ( 1.11 ) eine Funktion von z0 allein ist; irgendwelche Zufälligkeiten der Kurvenform mitteln sich effektiv heraus. Und zwar verschwindet das Residuum, falls z0 außerhalb des Kreises liegt; und wenn innerhalb





Res F | z0 = w ( z0 ) ( 2.1 )



Die Nutzanwendung der CI. Ich schlage um den Ursprung einen Kreis, dessen Radius nur genügend klein bleiben muss, so dass der Pol z1 aus gesperrt bleibt. Nach dem Gesagten ist dann das Residuum von ( 1.5b ) gleich A.
Jetzt verstehen wir auch den Ausdruck Integralkern; der Kern von F in ( 1.10 ) ist offenbar w ( z ) – entsprechend G ( z ; z2 ) in ( 1.5a;6b )

Bleibt uns nur noch, ( 1.5b ) zu integrieren:




INTEGRAL tg ( x ) dx = ½ ln ( z ) – ln ( z + 1 ) ( 2.2 )


Um auf die Form ( 1.2b ) zurück zu gelangen, müssen wir noch substituieren



u : z = u ² ( 2.3a )

( 2.2 ) = - ln [ 1/u ( u ² + 1 ) ] = - ln ( u + 1/u ) = - lncos ( x ) ( 2.3b )


Ergänzung vom 03.03.2010 00:41:

Ich krieg dich ja noch so weit, dass du dich mit meinen Antworten wirklich auseinander setzt. Wenn man bedenkt, wie der Logarithmus in der Schule ein geführt wird; da gilt das Schillerwort

" Das ist der Fluch der bösen Tat / Dass sie fort zeugend Böses muss gebären. "



Ich berufe mich hier auf das Telekolleg; eine akademische Präsentation der Materie zeichnet sich in aller Regel dadurch aus, dass man die Reihenfolge der Argumente vertauscht: Was wird voraus gesetzt; was ist zu beweisen?
Der Logarithmus ist eingeführt als Stammfunktion der Normalhyperbel



ln ( x ) := [ 1 , x ] INTEGRAL 1/x dx ( 3.1 )



Aus ( 3.1 ) liest man schon mal ab



x <=> 1 =====> ln ( x ) <=> 0 ( 3.2a )


Insbesondere halten wir fest



ln ( 1 ) = 0 ( 3.2b )




Als nächstes fragen wir uns; was ist die Ableitung von



f ( x ) := ln ( a x ) ( 3.3a )


Kettenregel



f ' ( x ) = 1/(ax) * a = 1/x ( 3.3b )



Mit ( 3.3b ) muss aber offenbar sein


ln ( a x ) = ln ( x ) + C ( 3.4a )


mit einer noch näher zu bestimmenden Integrationskonstante C. Wir setzen in ( 3.4a ) x = 1; dann folgt wegen ( 3.2b )


C = ln ( a ) ( 3.4b )


und damit die logarithmische Rechenregel



ln ( a x ) = ln ( x ) + ln ( a )

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