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Interview mit Nadeshda

Liebe Community, schon eine ganze Weile war es ruhig in Sachen Interviews auf dem COSMiQ-Blog – das soll sich heute aber ändern.  weiter ...



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268151
Purple2323
Purple2323 (Rang: Robert Koch)

Wie zerlege ich folgende Funktion in ihre Linearfaktoren?

4x^4-17x^2+4

Vielen Dank im Vorraus ^^

5 Antworten

651546
hjk1001

hjk1001

Rang: Albert Einstein11 (144.142) | Mathematik (43.388), ganzrationale Funktionen (91), Übungen (75)

33 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (08.03.2011 11:08)

1

Wenn Du für x² = y setzt, erhälst Du eine quadratische Gleichung 4y²-17y+4=0 und
kannst diese mit der Formel lösen.

3 Kommentare

268151
Purple2323
Purple2323

den rechenweg eher, muss es ja verstehn un nich abschreibn :D

268151
Purple2323
Purple2323

tschuldigung sollte unten hin...

651546
hjk1001
hjk1001

Lösungsformel => y = 1/4 oder y = 4, also x² = 1/4 oder x² = 4 und damit
4x^4 - 17x² + 4 = 4(x²-1/4)*(x²-4) = ...

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676009
alfonsdreizehn

alfonsdreizehn

Rang: Albert Einstein (19.473) | Mathematik (5.423), ganzrationale Funktionen (44)

41 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (10.03.2011 02:54)

2

Ooooh freu !!!!


Ihr macht doch ganz typisch die Substitution


z := x ² ( 1a )

y = f ( x ) = x ^ 4 - p x ² + q ( 1b )

= x ^ 4 - 17/4 x ² + 1 ( 1c )

= z ² - 17/4 z + 1 ( 1d )

4 z ² - 17 z + 4 = 0 ( 1e )



( 1bc ) ist ganz typisch eine biquadr. Gl. ( BQG bzw BQF )





Für ( 1d ) brauchts keine Mitternachtsformel ( MF ) Die Lösung können wir raten. Und zwar nach einer genialen Eingebung meines Freundes Ribek. Für ( 1e ) stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder es ist prim; oder du hast die beiden rationalen Wurzeln


z1;2 := p1;2 / q1;2 ( 2a )


Warum ist ( 2a ) so wichtig? Weil nach Ribek


p1 p2 = a0 = 4 ( 2b )

q1 q2 = a2 = 4 ( 2c )




Freilich; um so argumentieren zu können wie Ribek, müssen wir ( 1e ) erst dem Eisensteintest unterziehen. ( 1e ) testet jedenfalls Eisenstein negativ ( 4 ist eine Quadratzahl ! )
Wegen Vieta p > 0 , q > 0 sind beide Lösungen von ( 1d ) positiv. Damit ergibt sich die Liste


( 1 , 2 , 4 ; 1/2 ; 1/4 ) ( 3 )


Untersuchen wir die einzelnen Fälle nach ( 2bc )


z1 = 1 ====> z2 = 4/4 = 1 ( 4a ) ( Widerspruch ; wir müssen x2 kürzen )


Position 1 wird aus Liste ( 3 ) gestrichen.


z2 = 2 ====> z1 = 2/4 = 1/2 ( 4b ) ( Widerspruch )


Positionen 2 und 4 werden ebenfalls gestrichen.
Verbleibt nur noch eine Alternative. Ist das ein Beweis? Nein; niemand hat uns gesagt, dass die Lösungen auch tatsächlich rational sind. Trotzdem ist die MF entbehrlich; Vieta ist immer hinreichend. Ribek ( 2bc ) leistet schon den Test auf Vieta q ( warum? ) Bleibt also in ( 1d ) noch Vieta p nachzuprüfen.



z1 = 1/4 ; z2 = 4 ( 5a )

x1 = 1/2 ; x2 = 2 ( 5b )




Es geht aber noch aders. Überlegt mal; hätten wir ( 1d ) mit der MF gelöst, wären wir bei Differenzen aus großen Quadraten an gekommen.



17 ² - 2 ^ 6 = ( 17 + 2 ³ ) ( 17 - 2 ³ ) = ( 5 * 3 ) ² ( 6 )


( Erst quadrieren und dann doch die Wurzel ziehen. )
Und da habe ich mich total genial betätigt. Schreibt mal den vieta in der Form ( 1c )


p = x1 ² + x2 ² = 17/4 ( 7a )

u : u ² = q = 1 ( 7b )

u = x1 x2 = 1 ( 7c )



In Worten: Wegen ( 7a-c ) ist für rein reelle Lösungen notwendig p > 0 , q > 0 - hat euch natürlich auch wieder niemand gesagt.
Nun trifft es sich aber, dass ( 7c ) die quadr. Ergänzung von ( 7a ) ist:


( x1 +/- x2 ) ² = p +/- 2 u ( 8a )



( 8a ) ist die MF Marke Alfons spezial; wir ziehen ERST die Wurzel. Das macht sich deutlich bemerkbar:



x1 + x2 = 5/2 ( 8b )

x1 - x2 = 3/2 ( 8c )


Die mit ( 8a ) ermittelten Lösungen nenne ich Wurzelwurzeln ( WW ) obwohl es in diesem Zusammenhang äußerst schwer fällt einzusehen, was WW sein sollen.


Ergänzung vom 10.03.2011 03:03:

Weitere Hinweise zu BQF siehe mein Link



http://www.cosmiq.de/qa/show/2816295/Suche-Uebungsaufgaben-zur-Kubischen-Gleichu... kopieren



Hier: Ergänzung v. 10.11.10 19h17 Alle Gl. mit ' Sieben Punkt ' ; die einzelnen Aufgaben - 4.2 usw. - aber nicht mehr unbedingt.
( In unserem Fall liegt offenbar W-Form vor. )

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81404
Mastersam

Mastersam

Rang: Albert Einstein2 (29.092) | Mathematik (4.343), ganzrationale Funktionen (15)

16 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (08.03.2011 10:51)

3

Indem du die Nullstellen suchst

jede Nullstelle bildet dann mit x ein Paar
N1 = 2
dann ist ein Faktor
(x-2)
denn wenn man 2 einsetzt wird die Funktion 0
dafür gibts dann verschiedene Techniken, in deinem Falle denk ich aber mal ihr sollt das über Probieren lösen

wenn du Hilfe brauchst, dann benutz das Programm GeoGebra oder probierst hiermit (einfach Funktion eingeben)
http://www.wolframalpha.com/ kopieren

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81404
Mastersam
Mastersam

willst du nen Rechenweg oder reicht ein Tool das dir das macht

268151
Purple2323
Purple2323

den rechenweg eher, muss es ja verstehn un nich abschreibn :D

676009
alfonsdreizehn
alfonsdreizehn

Hier Popel, du meinst wohl auch, wenn er sich die Eins verdienen will mit etwas, wo net mal sein Pauker kennt. Da muss er schon rühmend hervor heben, was für ein Genie dass ich bin ...

81404
Mastersam
Mastersam

erklär ich immernoch net idiotensicher genug?

 

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