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GOI_GA
GOI_GA (Rang: Albert Einstein3)

Sind Zahlen tatsächlich etwas Unendliches?

Entdecken wir Mathematik,erforschen wir Mathematik oder schaffen wir Mathematik ?

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6 Antworten

930
Sique

Sique

Rang: Albert Einstein20 (256.350) | Mathematik (5.485), Unendlichkeit (41)

28 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (12.07.2015 10:44)

1

1. Zahlen sind unendlich. Das hat schon Galileo Galilei in seinen Discorsi bewiesen. Sein Beweis ist klassisch:

i) Nicht jede natürliche Zahl ist ein Quadrat.
ii) Es gibt also mehr natürliche Zahlen als Quadrate.
iii) Man kann von jeder natürliche Zahl das Quadrat bilden.
iv) Quadrate natürlicher Zahlen sind selbst natürliche Zahlen.
v) Es gibt also genauso viel natürliche Zahlen wie Quadrate.
vi) Wir haben für alle endlichen Mengen natürlicher Zahlen einen Widerspruch zwischen ii) und v).
vii) Daher sind die Natürlichen Zahlen keine endliche Menge, sie sind demnach unendlich.

2. In der Mathematik gibt es beides, Entdeckungen und Erfindungen. Ein Beispiel sind die Reellen Zahlen. Lange Zeit versuchte man, eine Gleichung zu finden, deren Nullstelle die Kreiszahl π ist. (Diese Versuche sind als "Quadratur des Kreises" in die Umgangssprache eingegangen. Kaum noch einer kennt den Hintergrund dieser Floskel). Aber so sehr sich die Mathematiker auch bemühten, keiner konnte ein Verfahren angeben, π entweder mit Zirkel und Lineal zu konstruieren oder als Gleichung anzugeben, ohne nicht irgendwo π vorher hineinzugeheimnissen. 1882 konnte Ferdinand von Lindemann beweisen, dass sich π auf die Weise nicht konstruieren lässt, die Quadratur des Kreises ist tatsächlich unmöglich.
Also brauchten die Mathematiker neue Verfahren, Zahlen zu konstruieren außer Gleichungen und geometrischen Verfahren mit Zirkel und Lineal. Es gab mehrere Ansätze. Richard Dedekind erfand die sogenannten Dedekindschen Schnitte, Bernhard Bolzano und Wilhelm Weierstrass das Verfahren nach Bolzano-Weierstrass, Auguste Cauchy die Cauchy-Folgen. Diese drei Verfahren (es gibt noch mehr) sind echte Erfindungen. Aber alle drei sind gleichzeitig mit einer Entdeckung verbunden. Legt man nämlich eins der Verfahren als Axiom fest (d.h. man verlangt, dass eines dieser Verfahren als Ergebnis immer eine eindeutige Zahl erzeugt), dann lassen sich die beiden anderen Verfahren als Sätze beweisen. Alle drei Erfindungen sind also ein mögliches Axiom der Reellen Zahlen.


Ergänzung vom 12.07.2015 11:21:

Auch eine einzelne Zahl ist unendlich. Ich kann z.B. jede reelle Zahl als unendlichen Dezimalbruch darstellen. (Axiomatisch gesprochen ist ein unendlicher Dezimalbruch eine Cauchy-Folge).

Es gibt auch Zahlen, deren Zahlwert unendlich groß ist, und ich meine jetzt nicht das Symbol der liegenden Acht.

Georg Cantor versorgte uns mit der Mengenlehre und mit der Erkenntnis, dass auch die Unendlichkeiten unendlich sind. Die kleinste unendliche Zahl wird als א (Aleph) bezeichnet. Sie ist gleich der Mächtigkeit der Natürlichen Zahlen. Die Rechenregeln sind ein wenig schräg, das Doppelte von א ist gleich א, und auch א zum Quadrat ist א. Aber 2^ א ist tatsächlich mehr als א, das konnte Georg Cantor mit dem Diagonalverfahren beweisen.

7 Kommentare

1052944
Theater9489
Theater9489

Zahlen sind unendlich, eine einzige Zahl ist nicht unendlich.

1052944
Theater9489
Theater9489

Nimmt man nun mehrere einzelne Zahlen in den Blick, das heißt sprachlich auch "Zahlen", so entsteht eine endliche Zahlenmenge.

Da muss man sprachlich ein bisschen aufpassen, um es richtig zu sagen.

Nur alle Zahlen, die Gesamtheit der Zahlen, die man immer weiterführt, also die offene Menge aller Zahlen iostz wirklich unendlich, weil immer eine weitere Zahl hinzukommt. Zahlen können endlich oder unendlich sein.

Das sind auch Zahlen, einzelne zahlen "im Bunde" (sprachlich):

23, 67, 8.999, 19 - die vier Zahlen, Mehrzahl: Die(se) Zahlen sind selbstverständlich endlich.

1052944
Theater9489
Theater9489

"1. Zahlen sind unendlich." Nicht alle. Beispiel wie oben.

1039555
Neutralino
Neutralino

Man sollte dazu sagen, dass Kardinalzahlen unendlicher Mengen keine "normalen" Zahlen sind. Sonst kommen Missverständnisse auf.

930
Sique
Sique

Deswegen schrieb ich, dass die Rechenregeln ein wenig schräg sind (und damit nicht wie bei "normalen" Zahlen).

930
Sique
Sique

Man kann die Ganzen Zahlen als 2*א interpretieren und die Rationalen (Gebrochenen) Zahlen als א zum Quadrat.

1039555
Neutralino
Neutralino

Ich halte es für didaktisch sinnvoller, zuerst zu nennen, dass es sich nicht um "normale" Zahlen handelt, denn dann überrascht auch nicht mehr, dass es dafür besondere Rechenregeln gibt. So fallen die besonderen Rechenregeln vom Himmel, insbesondere, wenn einfach von "Zahlen" die Rede ist. Da denkt man an 1, 2, 3,...

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1051786
NGTRX

NGTRX

Rang: Albert Schweitzer (8.132) | Mathematik (194)

6 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (12.07.2015 10:22)

2

Da ich Mathematik als die Sprache der Logik ansehe, neige ich dazu, dass wir als Menschheit die Mathematik erschaffen, um die Logik zu erforschen (entdeckt haben wir die Logik bereits).


Ergänzung vom 12.07.2015 10:27:

Es gibt natürlich unendlich viele Zahlen. Mathematik befasst sich aber weniger mit Zahlen, das ist eher eine Randerscheinung. Es geht um die abstrakte Darstellung von Zusammenhängen.

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1039555
Neutralino

Neutralino

Rang: Nobelpreisträger (5.481) | Mathematik (151), Unendlichkeit (7)

19 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (12.07.2015 10:35)

3

Die Mathematik erschafft die Dinge, die sie untersucht, selbst und entdeckt dort neue Zusammenhänge.

8 Kommentare

1054711
Tabino
Tabino

Wenn Du geschrieben hättest Miss Mathematik,erschafft die Dinge,die sie untersucht selbst und entdeckt dort neue Zusammenhänge; wäre das richtiger gewesen. Die Mathematik ist eine Sache kann sich deshalb nicht selbsterschaffen dazu bedarf es wohl des menschlichen Geistes! Ich geb Dir trotzdem einen Punkt

1039555
Neutralino
Neutralino

Die Mathematik ist eine Disziplin, die natürlich von Mathematikerinnen und Mathematikern betrieben wird. Eine "Vermenschlichung" einer Disziplin zwecks Vereinfachung ist üblich, anderes wäre nicht richtiger.

1054711
Tabino
Tabino

Mathematik kann man in der Natur erkennen,daraus folgt,sie existiert auch ohne den Menschen,um sie zu erkennen bedarf es des menschlichen Geistes.
Mathematik kann man erforschen,dazu bedarf es wiederum des menschlichen Geistes! Aus der Untersuchung der Mathematik kann somit vorhandenes entdeckt,werden als auch neues entstehen.Auch dafür bedarf es des menschlichen Geistes.Als Disziplin ist der menschliche Geist Voraussetzung,Auch wenn die Mathematik ohne menschlichen Geist existiert.Daraus folgt nicht das eine oder das andere ist richtig sondern beides ( das berühmte oder in der Mathematik)

1039555
Neutralino
Neutralino

"Mathematik kann man in der Natur erkennen,daraus folgt,sie existiert auch ohne den Menschen,"

Wie folgt das daraus, wenn es den menschlichen Geist braucht, um sie zu erkennen - wie Du auch selbst schreibst:

"um sie zu erkennen bedarf es des menschlichen Geistes."

"Mathematik kann man erforschen,dazu bedarf es wiederum des menschlichen Geistes!"

Das auch.

"Aus der Untersuchung der Mathematik kann somit vorhandenes entdeckt,werden als auch neues entstehen.Auch dafür bedarf es des menschlichen Geistes.Als Disziplin ist der menschliche Geist Voraussetzung,Auch wenn die Mathematik ohne menschlichen Geist existiert."

Letzteres wäre erst noch von Dir zu zeigen.

"Daraus folgt nicht das eine oder das andere ist richtig sondern beides ( das berühmte oder in der Mathematik)"

Du sprachst von richtig*er*. Das ist was anderes.

1054711
Tabino
Tabino

Existieren die Gesetze der Mathematik auch ohne den Menschen? Ja denn sie ist die Sprache der Natur und in ihr in Teilen ethalten, Die menschliche Disziplin Mathematik kann über die vorhandene Natur hinaus denken, kann aber ohne den menschlichen Geist nicht existieren.Wenn ich also die Tendenz betrachte für die Entwicklung der Mathematik kann sich die Mathematik nicht selbst erschaffen sondern wird erschaffen vom menschlichen Geist.Deshalb sprach ich von richtiger.

1039555
Neutralino
Neutralino

"Existieren die Gesetze der Mathematik auch ohne den Menschen?"

Fraglich.

"Ja denn sie ist die Sprache der Natur"

Nein. Die Physik beschreibt die Natur mit Hilfe der Mathematik. Beides hängt immer noch vom Menschen ab.

"und in ihr in Teilen ethalten"

Wo genau ist in der Natur Mathematik enthalten?

Ist in einem Baum Frankreich enthalten, weil ich ihn mit Hilfe der französischen Sprache beschreibe?

"Die menschliche Disziplin Mathematik kann über die vorhandene Natur hinaus denken"

Eher anders: Sie enthält Konstrukte, die in der Natur keine Entsprechung haben.

"kann aber ohne den menschlichen Geist nicht existieren."

Da sind wir uns einig.

"Wenn ich also die Tendenz betrachte für die Entwicklung der Mathematik kann sich die Mathematik nicht selbst erschaffen sondern wird erschaffen vom menschlichen Geist.Deshalb sprach ich von richtiger."

Und ich habe dem entgegnet:
Die Mathematik ist eine Disziplin, die natürlich von Mathematikerinnen und Mathematikern betrieben wird. Eine "Vermenschlichung" einer Disziplin zwecks Vereinfachung ist üblich, anderes wäre nicht richtiger.

1054711
Tabino
Tabino

Und was meinst du mit anderes? Kann ja sein das ich das falsch verstanden habe.

1039555
Neutralino
Neutralino

Mit "anderes" meinte ich das, was Du darauf formuliert hast.

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1052944
Theater9489

Theater9489

Rang: Einsteigerin (35)

4 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (12.07.2015 10:20)

4

Zahlen sind endlich.

Sogar Mengen mit Zahlen sind endlich:

In der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine endliche Menge eine Menge mit endlich vielen Elementen. So ist beispielsweise die Menge

M\,=\,\{4,6,2,8\}
eine endliche Menge mit vier Elementen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Endliche_Me nge kopieren


Ergänzung vom 12.07.2015 10:28:

Nur die Anzahl der Zahlen ist unendlich.


Ergänzung vom 12.07.2015 10:56:

Die Zashlen einzeln sind nicht nicht unendlich, auch die Mehrzahl endlicher Zahlen ist als "Zahlen" endlich, nur die Gesamtheit der Zahlen ist nicht endlich, die Zahlen sind unendlich, das kann auch zum sprachlichen Problem werden.

1 oder 2 und 3 sind Zahlen - sie sind natürlich nicht unendlich, die Zahlen eins bis drei...


Von den Zahlen gab es zunächst nur eine begrenzte Anzahl: Eins, zwei, drei, unendlich. Mehr Zahlen kamen im Lauf der Zeit hinzu, 'unendlich' blieb die größte Zahl. Erst bei den Griechen, die immerhin bereits bis 100.000.000 zählen konnten, verlor 'unendlich' seine Zahleigenschaft und wurde zum Begriff. Auch in der heutigen Mathematik ist 'unendlich' keine Zahl - und zwar auch nicht das Ergebnis einer Division durch Null - sondern die Eigenschaft einer ►Menge.
http://unendliches.net/german/index.htm?zahlen.htm kopieren


Ergänzung vom 12.07.2015 11:05:

Ich präzisiere:

Einzelne Zahlen sind endlich.
Alle Zahlen sind nicht unendlich.
Alle denkbaren Zahlen sind unendlich.

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1050636
GOI_GA
GOI_GA

Plus 1,das Kinderspiel/Zahlen kennt doch sicher jeder.

1052944
Theater9489
Theater9489

Man spricht auch von Zahlenwesen. Eins hat seine Grenze nicht nur dort, wo zwei oder sonst eine andere Zahl beginnt, auch in sich selbst.

1039555
Neutralino
Neutralino

Es gibt auch unendliche Mengen mit Zahlen. So zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen. Und es gibt Mengen, die sind "unendlicher" als andere. So ist die Menge der reellen Zahlen mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen.

1052944
Theater9489
Theater9489

Ganzheitsringe algebraischer Zahlkörper, die Analoga des Rings der ganzen Zahlen \Z im Körper \Q darstellen

1039555
Neutralino
Neutralino

Was soll mir die Kopie aus Wiki sagen?

1052944
Theater9489
Theater9489

um es korrekt zu sagen- bezug, es gibt auch

1052944
Theater9489
Theater9489

das gleiche was mir Es gibt auch unendliche Mengen mit Zahlen. So zum Beispiel sagen sollte

1039555
Neutralino
Neutralino

Mein Kommentar war als Ergänzung gedacht. Das kann ich bei der Kopie aus Wiki nun nicht erkennen.

1052944
Theater9489
Theater9489

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1023325
Donnerstag-Geborener

Donnerstag-Geborener

Rang: Leonardo daVinci (12.728) | Mathematik (39)

21 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (13.07.2015 06:26)

5

Für den Astrophysiker ja, für den Mathematiker nein.
Der Mathematiker sagt zwischen 0 und 1 gibt es unendlich viele Zahlen.
0,1 0,01 ..... 0,000000000000000000000000001 .....

Für den Astrophysiker ist die kleinste Zahl die Plancksche Zahl.

Aus Tante Wiki:
Das Plancksche Wirkungsquantum, oder die Planck-Konstante h, ist das Verhältnis von Energie (E) und Frequenz (f) eines Photons, entsprechend der Formel E = h \cdot f. Die gleiche Beziehung gilt allgemein zwischen der Energie eines Teilchens oder physikalischen Systems und der Frequenz seiner quantenmechanischen Phase.

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235906
Zauberzahnfee

Zauberzahnfee

Rang: Mileva Einstein13 (170.806) | Mathematik (54)

7 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (12.07.2015 17:08)

6

Wir entdecken Mathematik, mein Vater hat uns spielerisch dran gebracht und war immer auf meine 1 in Mathe stolz.
Mathe in Form mit Geld was gibt es schöneres.
Man lernt anhand der Zahlen den Wert schätzen und überlegt sich zweimal soll man sich kaufen oder wartet man bis es um die Hälfte günstiger ist.
Was bei Barzahlung kann ich Rabatt und Skonto aushandeln und bekomme ich es somit viel günstiger man entdeckt das die Mathematik manchmal durchaus einen Anreiz bietet damit zu handieren.

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1019904
Hydrazin
Hydrazin

Dazu gibt's einen tollen Beitrag von Rudolf Taschner, indem anschaulich und mit köstlichem Humor eine Idee davon vermittelt wird, was Mathematik ist.

https://www.youtube.com/watch?v=5Rt_AlAGJXY kopieren

1061568
Scooby-Doo
Scooby-Doo

Ganz netter Mann im Video, der weiß was.

1061568
Scooby-Doo
Scooby-Doo

Rechenknechte.. haaa

 

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