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BlackBrain
BlackBrain (Rang: Einsteigerin)

Hilfe bzgl. Eines beweises

Ich habe heute folgende Aufgabe bekommen:
Bildungsgesetz einer rekursiven folge:

a[n] = a[n-1]*(4-(2/n))

Nun soll bewiesen werden, ob alle folgeGlieder element von N sind.

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2 Antworten

849
R.Steffens

R.Steffens

Rang: Albert Einstein3 (38.867) | Mathematik (2.693), Folgen (7)

36 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (25.12.2016 01:02)

1

Recht schwierig. Versuche mal Wolfram Alpha ( http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5Bn%5D+%3D+a%5Bn-1%5D*(4-(2%2Fn)) kopieren )
Ich bin nicht sicher, dass deine Aufgabe und meine Eingabe da richtig verstanden wurde. Der "Value plot" scheint aber zumindest in der Größenordnung richtig zu sein. Die "Alternate form assuming n is positive" ist zumindest ein Anhaltspunkt für eigene Berechnungen.


Ergänzung vom 25.12.2016 01:22:

Mein kleines Programm ergibt zumindest für kleine Natürliche Zahlen a[0] in der Folge auch wieder Natürliche Zahlen. Leider werden die Folgenglieder ziemlich schnell so groß, dass auch für a[0]=1 eine genaue Berechnung meinen privaten Rahmen sprengt. Aber für einen mathematischen Beweis wäre das sowieso nicht hilfreich.
Anscheinend ist das eine raffinierte Formel zur impliziten Berechnung von (Prim-) Teilern.


Ergänzung vom 25.12.2016 01:30:

Für a[0] = 1 bis a[9]:

a[0]= 1 = 1
Primfaktoren: 1
a[1]= 2 = 1*2
Primfaktoren: 2
a[2]= 6 = 1*2*3
Primfaktoren: 2*3
a[3]= 20 = 1*2*3*(4-2/3)
Primfaktoren: 2^2*5
a[4]= 70 = 1*2*3*(4-2/3)*(4-2/4)
Primfaktoren: 2*5*7
a[5]= 252 = 1*2*3*(4-2/3)*(4-2/4)*(4-2/5)
Primfaktoren: 2^2*3^2*7
a[6]= 924 = 1*2*3*(4-2/3)*(4-2/4)*(4-2/5)*(4-2/6)
Primfaktoren: 2^2*3*7*11
a[7]= 3432 = 1*2*3*(4-2/3)*(4-2/4)*(4-2/5)*(4-2/6)*(4- 2/7)
Primfaktoren: 2^3*3*11*13
a[8]= 12870 = 1*2*3*(4-2/3)*(4-2/4)*(4-2/5)*(4-2/6)*(4- 2/7)*(4-2/8)
Primfaktoren: 2*3^2*5*11*13
a[9]= 48620 = 1*2*3*(4-2/3)*(4-2/4)*(4-2/5)*(4-2/6)*(4- 2/7)*(4-2/8)*(4-2/9)
Primfaktoren: 2^2*5*11*13*17
...

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724909
AsconX

AsconX

Rang: Albert Einstein2 (29.170) | Mathematik (8.892), Folgen (56)

4 Tage nachdem die Frage gestellt worden ist (27.12.2016 01:56)

2

Ich würde hier mal orakeln, dass es sich um eine Analysis-Vorlesung (oder verwandt, zB Zahlentheorie) andelt mit dem aktuellen Thema "Gamma-Funktion".

In diesem Fall könnte man durch geschicktes Umformulieren des Produkts
Prod[k=1..n] (4-2/k)
auf eine Komposition von Gamma-Funktionen kommen.

Hat man es bis hierhin geschafft, muss letztlich nur eine Frage beantwortet werden:
"Wie kommt Wurzel Pi da weg?" (bzw. besser: "Bekomme ich es zuverlässig weg?")

Dazu: Was ist Gamma(1/2) ? Und warum frage ich das? :-) Frohe Weihnachten und viel Erfolg!

2 Kommentare

1066626
BlackBrain
BlackBrain

aah gamma (1/2) = sqrt(pi)

jetzt hab ich eine idee danke

724909
AsconX
AsconX

Prima :)

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