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642101
detektivconan12
detektivconan12 (Rang: Albert Schweitzer)

Definitionsmenge, wie kommt man drauf?

Die Definitionsmenge schließt ja auch Zahlen, welche nicht als Lösung in Frage kommen, aus. Nur wie kommt man schnell und einfach an diese Zahlen?

Z.B. im Bruch 5/ x+3 würde man sagen D=Q\{-3}
Aber wie soll man bei längeren Brüchen da noch drauf kommen?

Z.B. bei dieser Aufgabe:
(4)/(x-2)+(5x)/(x²+6x+9)=(9)/(x+3)

Hier wird gesagt D=Q\{2; 3; -3}
nur wieso 3?

Und wie kommt man schnell auf die Definitionsmenge? x²+x-6 D=Q\{?}

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14544
haraldtillmann

haraldtillmann

Rang: Max Planck (10.220) | Mathematik (31)

3 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (09.12.2017 02:03)

1

Für Lücken in der Definitionsmenge kommen hauptsächlich zwei Situationen in Frage:
1. Bei Gleichungen, in denen ein oder mehrere Ausdrücke mit x unter einer Wurzel stehen, sind nur x-Werte erlaubt, für die alle unter allen Wurzeln der Gleichung stehenden Ausdrücke größer oder gleich Null sind.
z.B.: y = Wurzel von (x - 3) -> nur x-Werte >= 3 sind erlaubt. Also Definitionsmenge = alle rationalen Zahlen, die > oder = 3 sind.
2. Bei Gleichungen, bei denen ein oder mehrere Ausdrücke mit x unter einem oder mehreren Bruchstrichen stehen, dürfen diese Ausdrücke unter den Bruchstrichen nicht gleich null sein.
Da in Deiner Beispielaufgabe x² + 6x + 9 nichts anderes ist als
(x + 3)(x + 3), sind lediglich die x-Werte +2 und -3 nicht erlaubt. Dass +3 für x nicht erlaubt sei, ist Unsinn.
Bei einem größeren Ausdruck unter dem Bruchstrich setzt Du diesen einfach gleich null, also in Deinem zweiten Beispiel: x² + x - 6 = 0.
Diese Gleichung kannst Du mittels der "p/q-Formel", auch "Mitternachtsformel" genannt, da ein Mathematiker im Bett kurz vor dem Einschlafen auf sie kam, lösen: x1/2 = - p/2 +- Wurzel aus ((p/2)² - q),
und da p = 1 und q = -6: x1/2 = - 1/2 +- Wurzel aus (1/4 + 6) =
- 1/2 +- Wurzel aus (25/4) = - 1/2 +- 5/2, also x1 = 4/2 = 2 und
x2 = - 6/2 = -3.
Das heißt, dass, wenn der Ausdruck x² + x - 6 unter dem Bruchstrich steht,
x weder den Wert 2 noch den Wert -3 annehmen darf, also D = Q/{2; -3}

3 Kommentare

642101
detektivconan12
detektivconan12

Ich dachte, ich befände mich schon im Bereich der höheren Mathematik aber deine Antwort zeigt mir, dass es noch viel komplexer zu gehen kann :D

31697
herbert-h
herbert-h

... nur wieso 3?

1076499
gilgamesch4711
gilgamesch4711

Sehr geehrter Herr Harald Tillmann;
du meldest dich erst jetzt zu Wort. Unter meiner Antwort steht ja dein Kommentar; aber ich muss dich auch benachrichtigen, dass ich dir geantwortet habe. Es dürfte dich intressieren - völlig neue Ausblicke.

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31697
herbert-h

herbert-h

Rang: Albert Einstein6 (78.848) | Mathematik (6.656), Brüche (21), Variablen (7)

17 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (09.12.2017 16:10)

2

... nur wieso 3? Weil es vielleicht in der Aufgabe anders heißt?
(x²+6x+9) = (x+3)² -> -3
(x-2) -> +2
vielleicht lautet es in der Aufgabenstellung
(x²-6x+9) = (x-3)²
Die Definitionsmenge von x²+x-6 ist im übrigen ganz |R

2 Kommentare

14544
haraldtillmann
haraldtillmann

Der gute Frager meinte sicher, wenn der Ausdruck unter dem Bruchstrich steht! Dann sind +2 und -3 nicht erlaubt, denn der Ausdruck ist, wie aus der Mitternachtsformel folgt, nichts anderes als (x - 2)(x + 3)...

31697
herbert-h
herbert-h

Genau diese Fälle betrachte ich, aber +3 ist nicht dabei.

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1076499
gilgamesch4711

gilgamesch4711

Rang: Doktor (3.023) | Mathematik (225)

48 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (10.12.2017 22:35)

3

Das ist mit Sicherheit ein -Fehler.


x ² + 6 x + 9 = ( x + 3 ) ² ( 1 )


Da braucht ' s keine Mitternachtsformel; seht ihr Schlafmützen nicht mal das Binom?


Ergänzung vom 11.12.2017 03:50:

Halt Stop; eh ich dir was Falsches erzähle. Du hast zwei ===> gebrochen rationale Funktionen


f ( x ) := 4 / ( x - 2 ) + 5 x / ( x + 3 ) ² ( 3.1a )


die Definitionsmenge von ( 3.1a ) ist

D ( f ) = |R \ { - 3 ; 2 } ( 3.1b )


Das was du hast, nämlich |Q , langt eindeutig nicht. Denn beim gleich Setzen von ( 3.1a;3.2a ) wirst du höchst wahrscheinlich auf eine Gleichung 2. oder gar 3. Grades geführt; lassen wir uns überraschen. ( Es sei denn, du machst dich schlau, was ===> algebraische Zahlen sind. )


g ( x ) := 9 / ( x + 3 ) ( 3.2a )

D ( g ) = |R \ { - 3 } ( 3.2b )

f ( x ) = g ( x ) | * HN ( 3.3 )


Aber die Definitionsmenge geht nur sehr indirekt ein. Das Problemkind ist nämlich die gemeinsame Polstelle bei x1 = ( - 3 ) ; wer sagt uns, dass die sich nicht beim gleich Setzen in ( 3.3 ) weg hebt? Emtscheiden ließe sich das nur durch ===> Teilbruchzerlegung ( TZ ) TZ ist unbestechlich; nur über TZ kannst du den Hauptnenner ermitteln ( Nein; unmittelbar swhen kannst du ihn gerade nicht. )
Da hier aber alles Picobello geht, so werde ich es vorbehalötlich deines Widerspruchs so rechnen wie in der Schule.



4 ( x + 3 ) ² + 5 x ( x - 2 ) = 9 ( x - 2 ) ( x + 3 ) ( 3.4a )


Mit etwas Geschick sieht man schon auf einen Blick, dass sich alle x ² weg kürzen


24 x + 36 - 10 x = 9 x - 54 ( 3.4b )


sortieren


14 x + 2 * 18 = 9 x - 3 * 18 ( 3.5a )

5 x = - 5 * 18 ===> x = ( - 18 ) ( 3.5b )


Ergänzung vom 11.12.2017 04:02:

Kannst du dir was unter Stetigkeit oder stetiger Ergänzung einer Funktion vorstellen? Genau sowas kann nämlich passieren bei gemeinsamen Polstellen - muss aber nicht.


Ergänzung vom 11.12.2017 15:41:

Als meine armenische Putze bei mir lebte, wurde ich nochmal richtig jung. Ihre Kinder guckten nämlich den ganzen Tag Anime und Pokemon. Daher nämlich kenne ich Connan.
du hast leider nicht gesagt, welche meiner Antworten dein Verständnis übersteigen. Ich würd dir ja gerne helfen; am Besten du zitierst die Nummer einer meiner Gleichungen, die dir unklar ist. Dann werde ich dir nämlich zeigen, dass alles ganz einfach ist - gerade für dich ist das wichtig.

3 Kommentare

14544
haraldtillmann
haraldtillmann

Selber Schlafmütze, die Mitternachtsformel habe ich auf das ZWEITE Beispiel angewendet, also x² + x - 6 im Nenner...

1076499
gilgamesch4711
gilgamesch4711

Dann habe ich was hoch Spannendes für dich; Mathematik kann auch ein Krimi sein. Ich berichte dir jetzt von der Jahrtausendfälschung.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BC ber_rationale_Nullstellen kopieren

Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Naa; hast du dich von deinem Schock erholt?
Die Jahrtausendfälschung betrifft nun Wikis Behauptung, Gauß habe dieses Teorem auch nur gekanntr geschweige entdeckt. In Wirklichkeit wurde der SRN 1990 von einem Internetgenie entdeckt.

1) Gauß ist doch Kult; wieso kennt denn dein Lehrer den SRN nicht?
2) Die inzigen seriösen Algebrabücher sind Artin und v.d. Waerden I beide 1930 ) Euer Schrat kennt das natürlich; schließlich hat der g ' studiert; spitzt den doch mal an, er solle klären, ob diese beiden autoren überhaupt schon vom SRN wissen ...
3) Spiel doch mal selber Kriminalkommissar; wiederhole bitte den Beweis, dass Wurzel ( 2 ) irrational ( Das Internet wird dir behilflich sein. )
Halt Stop; und jetzt der selbe Beweis über den SRN .
Der Augenblick der Erleuchtung; im ===> Zen Buddhismus heißt er ===> Satori .
4) Von einem so altehrwürdigen Lehrsatz, der auf gauß zurück geht, sollte man vermeinen, dass er wenigstens in einem Lehrbuch korrekt zitiert wird - es blieb mir überlassen ...
Der SRN hat doch nur Sinn für ===> primitive Polynome ( ganzzahlig gekürzt ) ( Warum ??? !!! )
Und jetzt schau dir mal Wiki an; gebrochene Koeffizienten lassen die zu ...
Damit zwingt mich der SRN , eine neue Definition in die Algebra einminzuführen:

DEFINITION 1 ( Noemiertes Polynom )
===============================

Ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive Form mit der Normalform überein stimmt ( oder was das selbe ist: Wenn die Koeffizienten der Normalform ganzzahlig sind. )

====================================




Korollar 1 zum SRN
===========================

Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur GANZZAHLIGE Wurzeln haben.

========================================= ==========================


So; jetzt schaue ich mir dein Polynom mal etwas gründlicher an.


f ( x ) := x ² - p x + q ( 2.1a )

p = ( - 1 ) ; q = ( - 6 ) ( 2.1b )

Polynom ( 2.1a ) ist normiert, weil p und q ganzzahlig sind. Vieta das geschmähte Stiefkind; Vieta q


q = x1 x2 = ( - 6 ) ( 2.2a )

Du hast bitte verstanden, dass wegen dem SRN in ( 2.2a ) nur die GANZZAHLIGEN Zerlegungen der 6 zulässig sind. Da gibt es nur zwei; die triviale 6 = 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 2 * 3 . Hinreichende Bedingung; überlebenswichtig in jeder Klausur: Vieta p


p = x1 + x2 ( 2.2b )


Machen wir die Probe:


| x1 | = 1 ; | x2 | = 6 ; | p | = 5 ( 2,3a )

| x1 | = 2 ; | x2 | = 3 ; | p | = 1 ( 2,3b ) ; ok


Jetzt in ( 2.3b ) nach Maßgabe ( 2.2b ) noch das Vorzeichen richtig drehen; und fertig ist die Laube.
Ein Argument für Däniken und die Freunde der Prä-Astronautik. Den IQ einer Alien Zivilisation setze ich gleich 100, wenn sie die oben beschriebene Wurzelzerlegung entdeckt auf dem technischen Niveau der alten Sumerer.
Von wegen Krone der Schöpfung ...
Der Zugasng zu quadratischen Gleichungen über die Mitternachtsformel ist in höchstem Maße kontra-intuitiv; wäre der SRN wirklich bekannt gewesen, hätte man das genau so gemacht wie ich als pädagogische Eingangsstufe - Schüler lieben Teiler und knobeln.

642101
detektivconan12
detektivconan12

Das übersteigt mein Mathe Verständnis ^^ Ich halt mich da lieber raus, wenn sich die Mathe-Profis unterhalten XD

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