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MidL
MidL (Rang: Einsteiger)

Wie bestimme ich den Funktionsterm einer Funktion 3ten Grades mit folgenden gegeben Werten...

Gegeben : Der Graf einer ganzrationalen Funktion 3ten Grades verläuft durch den Koordinatenursprung. Er hat bei x=2 eine waagerechte Tangente und bei x=4 eine Wendestelle. Die Wemdetangente hat die Steigung - 4.
1. Bestimmen Sie den Funktionsterm ( da muss folgendes Ergebnis rauskommen: - 1/3x^3 -4x^2 +12x ) Wie komme ich auf diesen Funktionsterm ?

2. bestimmen sie die Gleichung der Wemdetangente.
Wie kann man das machen ?

Über jede Hilfe bin ich sehr dankbar :)

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3 Antworten

31697
herbert-h

herbert-h

Rang: Albert Einstein6 (78.986) | Mathematik (6.656), Schule (593), Funktionen (224)

115 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (18.12.2017 21:03)

1

ganzrationale Funktion 3ten Grades
f(x)=ax³ + bx² + cx + d
f'(x)=3ax² + 2bx + c
f''(x)=6ax + 2b

verläuft durch den Koordinatenursprung
f(0)=0
⟺ 0=a*0 + b*0 + c*0 + d
⟺ d=0 (I)

Er hat bei x=2 eine waagerechte Tangente
f'(2) =0
⟺ 0 = 3a4 + 2b2 + c
⟺ 0 = 12a + 4b + c (II)

bei x=4 eine Wendestelle.
f''(4)=0
⟺ 0 = 6a4 + 2b (III)

Die Wemdetangente hat die Steigung - 4.
f'(4)=-4
⟺ -4 = 3a16 + 2b4 + c (IV)
Bestimmen Sie den Funktionsterm

Nun haben wir vier Gleichungen und vier Unbekannte. Sa ist eindeutig lösbar.
Setze ein!

2. bestimmen sie die Gleichung der Wendetangente.
Du hast die Steigung s (-4)
Du hast den x-Wert x0 (4)
Berechne den Wert y0=f(x0)
es könnte so sein w(x) = y0 + s*(x-x0)


Ergänzung vom 18.12.2017 21:04:

Sa -> Das

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Sique

Sique

Rang: Albert Einstein23 (304.102) | Mathematik (5.474), Schule (1.372), Funktionen (149)

19 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (18.12.2017 19:27)

2

Du schaust in die Definitionen von Tangente und Wendepunkt. Dann stellst du fest, dass die Tangente in einem Punkt x genau die Steigung f'(x) hat, im Wendepunkt gilt stattdessen f''(x) = 0.
Da an der Stelle x=2 die Tangente waagerecht liegen soll, ist f'(2) = 0. Und die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt, also muss f'(x) = -4 genau da gelten, wo f''(x) = 0 gilt.

Und da es um eine Funktion 3. Grades geht, ist die allgemeine Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Jetzt musst du noch f'(x) und f''(x) hinschreiben, dann hast du jede Menge Gleichungen, die zu lösen sind ;)

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1084843
Habakuk-Tibatong

Habakuk-Tibatong

Rang: Einsteiger (30) | Mathematik (27)

6 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (19.12.2017 00:46)

3

aha; eine Steckbriefaufgabe. alle die mich kennen, wissen: Ich arbeite grundsätzlich mit Schmuddeltricks.
Was euch Internet und Lehrer verschweigen; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

" alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie.
Sie verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen den WP. "


Der WP ist dir gegeben mit x ( w ) = 4 . Wenn du einmal davon ausgehst, dass x ( max ) = 2 , also zwei einheiten LINKS von dem WP , dann folgt doch logisch wegen der Symmetrie


x ( min ) = 6 ( 1 )


Damit hast du aber schon BEIDE Nullstellen der ersten Ableitung:


f ' ( x ) = k ( x - 2 ) ( x - 6 ) = ( 2a )

= k ( x ² - 8 x + 12 ) ( 2b )


wie gesagt dein Lehrer vermutet gar nicht, dass du auf diesen Trick kommst. Und ich hab erst eine Unbekannte, den ===> Leitkoeffizienten k .

Jetzt empfiehlt sich in ( 2a ) die Steigung der Wendetangente auszunutzen:


f ' ( 4 ) = k ( 4 - 2 ) ( 4 - 6 ) = ( 3a )

- 4 k = ( - 4 ) ===> k = 1 ( 3b )


Dann heißt aber ( 2b )


f ' ( x ) = x ² - 8 x + 12 ( 4a )


WAS ist zu tun? " aufleiten " ===> Integral ===> Stammfunktion
Was ich jetzt nicht hören will; Integral sei noch nicht dran gewesen. du kannst dir sehr wohl denken, welche Funktion die Ableitung ( 4a ) hat, nämlich


f ( x ) = 1/3 x ³ - 4 x ² + 12 x + C ( 4b )

Hier nun kommt die zweite Unbekannte ins Spiel, die ===> Integrationskonstante C


f ( 0 ) = 0 ===> C = 0 ( 5 )


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410666
BesondersArroganter
BesondersArroganter

man braucht vier bedingungen

1. Koordinatenursprung >>> (0/0)

2. bei x= 2 wT >>> f-Strich mit (2/0)

3. bei x = 4 Wendepunkt >>> f-2Strich mit (4/0)

4. Wendetangente >>> f-Strich mit (4/-4)

4 Gleichungen ergeben sich daraus

f = ax3 + bx2 +cx + d (wird einmal genutzt)
f-Strich = 3ax2 + 2bx + c (wird zweimal genutzt)
f-2Strich = 6ax + 2b (wird einmal genutzt)

 

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