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ikefikedike
ikefikedike (Rang: Albert Einstein)

Wie rechnet man mit der imaginären Einheit?

Die imaginäre Einheit i = sqrt(-1); also die Wurzel aus -1.
Das sieht dann bei einer Formel wie e^pi*i = -1 ja ganz schön aus, aber was genau wird denn dann für i eingesetzt, wenn man mit der Formel rechnet? Wie werden die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen auf dem Papier zusammengebracht?

Besten Dank schonmal!

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3 Antworten

1030662
Allie

Allie

Rang: Professorin (5.102) | Mathematik (43), Analysis (15)

5 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (22.12.2017 14:49)

1

Die Zahl i ist die Einheit der imaginären Zahl.
Sie hat die Eigenschaft: i² = -1
i entspricht der 1 bei den reellen Zahlen.

z= x + iy

x heißt von z. Abgekürzt: Re(z)
y heißt Imaginärteil von z. Abgekürzt: Im(z)

Man erhält die Summe zweier komplexer Zahlen, indem man die Reell- & Imaginärteile für sich addiert. Man erhält die Differenz, indem man Reellteile und Imaginärteile für sich subtrahiert.

Mit Hilfe der „Gaußschen Zahleneben“ (s. Bild) lässt sich das veranschaulichen.


Ergänzung vom 22.12.2017 14:54:

Bild: Eigene Aufzeichnungen, nach dem Lesen folgender Bücher:
• „Mathematik für Ingenieure & Wissenschaftler“, L. Papular
• „Mathematik für Physiker“, Weltner

Es gibt da noch den Zusammenhang zw. Eulerischer Zahl, der Imaginären Zahl & der Taylor-Entwicklung.


Ergänzung vom 22.12.2017 15:36:

Folgende Ableitungsfunktionen gehen später [als „j“] in die Taylorentwicklung ein.


Ergänzung vom 22.12.2017 15:40:

Ableitungen:


Ergänzung vom 22.12.2017 15:41:

1). Taylorentwicklung & Ansatz:


Ergänzung vom 22.12.2017 15:44:

2). Taylorentwicklung bei x0 = 0 mit Einsätzen von „j“:


Ergänzung vom 22.12.2017 15:48:

3). Substitution von 2)., welches zur Eulerischen Formel „e^x“ führt:


Ergänzung vom 22.12.2017 15:52:

Hier ein Video, dass die Taylorreihe erklärt:


Ergänzung vom 22.12.2017 15:56:

Nun zurück zur Komplexen Zahl, diese lässt sich auch so schreiben:


Ergänzung vom 22.12.2017 16:23:

A). Addition & Subtraktion:


Ergänzung vom 22.12.2017 16:25:

B). Multiplikation:


Ergänzung vom 22.12.2017 16:26:

C). Division Teil 1:


Ergänzung vom 22.12.2017 16:27:

C). Division Teil 2

Quelle: „Mathematik für Physiker“, Weltner, S. 184 - 185


Ergänzung vom 22.12.2017 16:30:

Rechnen mit komplexen Zahlen Teil 1


Ergänzung vom 22.12.2017 16:33:

Rechnen mit komplexen Zahlen Teil 2

2 Kommentare

1074939
Lucky-Inga1605
Lucky-Inga1605

23.12.2017: Sehr gute Antwort, liebe Allie, du bist zu klug
für einige und diese Schlappe können sie schlecht wegstecken^^
LG und ein gesegnetes Weihnachtsfest wünscht dir Inga

1030662
Allie
Allie

So klug nun wieder auch nicht, liebe Inga. Versuche meine Antworten zumindest zu strukturieren, aber tun wir es nicht alle?

Ich wünsche Dir ebenfalls ein schönes Fest im Kreise Deiner Lieben.

Herzliche Grüße, Maria

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1039555
Neutralino
Neutralino

Dein Taschenrechner oder wasauchimmer muss in der Lage sein, mit komplexen Zahlen rechnen zu können.
Hier:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=exp(-I*pi) kopieren

1074939
Lucky-Inga1605
Lucky-Inga1605

Aber dafür spielen - hören und sehen oftmals a.Mä. damit: https://www.youtube.com/watch?v=F-p5A_Gis kopieren lM

 

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