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Falkenstein
Falkenstein (Rang: Einsteiger)

Lage des Orthozentrums im Dreieck

Besteht in einem spitzwinkligen Dreieck die Möglichkeit die Höhe des Höhenschnittpunktes über der
zugehörigen Kathete der Höhe, in Abhängigkeit von der Länge der Katheten zu berechnen?

Also irgendwie so: Das Orthozentrum liegt auf der Höhe durch die Kathete a- xLE über a selbst...

x=...?

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1 Antwort

1084843
Habakuk-Tibatong

Habakuk-Tibatong

Rang: Student (215) | Mathematik (25), geometrie (17)

18 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (02.01.2018 05:51)

1

In einem spitzwinkligen -dreieck gibt es keine Kateten; bitte formuliere die Frage nochmal neu.


Ergänzung vom 02.01.2018 16:12:

Aber ich will mal nicht so sein. Bekommt man für Matematik eine Gehaltserhöhung? Ich schon.
Für Lötaugen sollte ich eine Routine schreiben, die den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet. Wenn aber zufällig eine Gerade vertikal unter 90 ° C ansteigt, beträgt ihre Steigung ja ( °° ) ; und damit hat der Computer so seine Probleme. Ein Kollege witzelte

" Herr Dr; benutzen Sie nie eine IF-Anweisung. die greift nur in die Logik ein ... "

Lötaugen sind doch n-Ecke . Schon Gauß ersann ja die komplexe Ebene für n-Ecke zu berechnen. Hier wirklich passiert; kennste den?

" Dat hat schon de jroße Jauß jesaht. "
" Hr. Professor schreibt man ' Gauß ' mit ' G ' oder ' J ' ? "
" mit Jee meine Herrn; mit Jee ... "

Was ich mir im Grunde überlegte, ist die ===> Parameterdarstellung einer Geraden. Nur dass ich nicht mit Vektoren, sondern mit komplexen Zahlen arbeite. Die beiden Geraden g1;2 heißen

g1;2 := s1;2 + k1;2 t1;2 ( 1 )

Dabei sind s1;2 die beiden Startpunkte ( komplex ) so wie t1;2 die beiden Richtungsvektoren ( eben Falls komplex ) Nur die Parameter k1;2 sind natürlich reell ( Wenn du mit Vektoren arbeitest, wären k1;2 ja auch reelle Zahlengrößen. )
Der Vorteil von komplexen Zahlen gegenüber Vektoren:

1) du kannst mit ihnen richtig gehend rechnen ( multiplizieren und dividieren )
2) Wir können uns mit Vorteil der ===> Euleridentität bedienen.


An sich geht doch Schnittpunktsberechnung so.


g1 = g2 ( 2a )

s1 + k1 t1 = s2 + k2 t2 ( 2b )


Aus ( 2b ) müsstest du die beiden Unbekannten k1;2 bestimmen - brauchst du nicht mehr. Das habe ich dir nämlich schon abgenommen; genau wie es für quadratische Gleichungen als Kochrezept die Mitternachtsformel gibt, so habe ich den von mir so genannten " komplexen Sinussatz " ( KS ) entwickelt. Und der geht so:


s := s2 - s1 ( 3a )

k1 = Imag ( s / t2 ) : Imag ( t1 / t2 ) ( 3b )


Wenn du das Dreieck aufmalst aus den drei Vektoren s , t1 und t2 , sollte der Name KS klar werden.
Für den KS bekam ich 500 DM außertarifliche Zulage; im Gegentum zu den Kollegen bekam ich sämtliche Tarifprozente auch auf die Zulage. Die ganzen Kollegen bekamen jede Tariferhöhung von der Zulage ABGEZOGEN , so dass sie per Saldo keinen Pfennig mehr hatten als vorher.
Um der Wahrheit die Ehre zu geben; normal waren 10 % Leistungszulage. Ich musste mich mit 3.5 bescheiden.
Ich war schon immer bissele altmodisch; es gibt keine Sprache außer Fortran, die den Datentyp Komplex versteht - und noch dazu " Generic " Wenn du also schreibst " x + y " oder " x * y " und nur x ist eine komplexe Variable, wird das Ergebnis automatisch komplex gerechnet.
Ich verstehe deine Aufgabe so: Wir legen die Abszisse parallel der Dreiecksseite c , wobei Ecke A der Nullpunkt unseres cartesischen Koordinatensystems ist. Jetzt suchst du die Ordinate des Ortozentrums H - ein Klax für meinen KS ( Lass es mich wissen, wenn du etwas anderes willst. ) Du wirst sehen: Wir sparen uns die ganzen geometrischen Überlegungen und stecken dafür die Arbeit in die formale Algebra.


g1 := h ( a ) ( 4a )

g2 := h ( b ) ( 4b )


Mit der Definition ( 4ab ) gehen wir in ( 2ab )


Als nächstes folgt Rechenschritt ( 3a )


s1 := A = 0 ( 5a )

s2 := B = c ( 5b )

s = s2 - s1 = c ( 5c )


In ( 3b ) müssen wir uns als nächstes überlegen, was t2 ist. Das wird nicht ganz leicht. Gehen wir aus von dem Richtungsvektor der Seite a


t ( a ) = - exp ( - i ß ) ( 6 )


Der nach Links orientierte Einheitsvektor " Minus Eins " wird im matematisch negfativen Sinn gedreht um den Winkel ß . Die Einführung der komplexen e-Funktion wird unser Vorhaben ungemein erleichtern, weil uns dann nämlich die logaritmischen Rechengesetze zur Verfügung stehen.
In unserem Kalkül entspricht eine Drehung um 90 ° immer der Multiplikation mit der imaginären Einheit i


i := sqr ( - 1 ) ( 7a )

t2 = - i exp ( - i ß ) ( 7b )


( max Zeichen )


Ergänzung vom 02.01.2018 17:19:

Tschuldigung; Kommando zurück. Ich habe nämlich einen Dreher drin. Richtig muss es heißen


t1 = - i exp ( - i ß ) ( 2.1a )

t2 = i exp ( i a ) ( 2.1b )


Dann wird der Zähler von ( 1.3b ) ( links von dem Doppelpunkt )


s / t2 = - i c exp ( - i a ) ( 2.2a )

imag ( s / t2 ) = - c cos ( a ) ( 2.2b )


und zwar ( 2.2b ) aus dem Eulersatz. Entsprechend finden wir für den Nenner von ( 1.3b )


t1 / t2 = - exp - i ( a + ß ) = ( 2.3a )

= exp ( i g ) ( 2.3b )


wobei in ( 2.3b ) die bekannte Winkelsumme benutzt wurde


a + ß + g = Pi ( 2.4 )

imag ( t1 / t2 ) = sin ( g ) ( 2.5a )


und aus ( 2.2b;5a ) das Endergebnis


k1 = - c cos ( a ) / sin ( g ) ( 2.5b )


Besinnen wir uns auf ( 1.1 ) ; dann muss doch


H = s1 + k1 t1 = ( 2.6a )

= i c cos ( a ) exp ( - i ß ) / sin ( g ) ( 2.6b )


Und die Ordinate, die du suchst, ist praktisch wieder der Imagteil von ( 2.6b )


H ( y ) = c cos ( a ) cos ( ß ) / sin ( g ) ( 2.7 )


Ist ( 2.7 ) plausibel? Ja; wir erwarten, dass die beiden Winkel a und ß symmetrisch in die Lösung eingehen. Ist etwa ß ein rechter Winkel, so verschwindet ( 2.7 ) ; für stumpfen Winkel finden wir gar negative Koordinate.

2 Kommentare

410666
BesondersArroganter
BesondersArroganter

also für 10,11 Klasse Gym kein Problem , oder ?

1084843
Habakuk-Tibatong
Habakuk-Tibatong

Hey Arroganter. Ich wehre mich immer gegen Mathelehrer, die ihre Schüler mit psychotischen Aufgaben quälen.
Beispiel; kennst du noch diese Pünktchenaufgaben aus der Sexta, wo eine schriftliche Division im achtstelligen Zahlenraum zu bewältigen ist? Nur Zähler, Nenner und Ergebniszahl sind voller " Pünktchen " weil doch die Schüler noch nicht wissen dürfen, was eine Unbekannte ist ...
Die Pünktchen sollst du raten, ohne einen Algoritmus zur Verfügung zu haben, der dir Existenz und Eindeutigkeit der Lösung garantiert.
Und ausgerechnet " Whiskey " , unser Mathe Fünfer, der dann nachmals auch durchs Abi rasseln sollte, hatte in Klasse 11 eine Idea:

" Warum machen wir nicht mal Pünktchenaufgaben? Ich hab da nämlich eine Idea; die ganzen Pünktchen folgen aus einem LGS . "

Und genau so hier. Welchen Sinn sollte es haben, obige Aufgabe zu lösen, ohne den KS zu kennen?
Erschwerend kommt hinzu: Du weißt ja, wie die Lehrer sind. Absolut keiner, der mich hier liest, wäre bereit, die Kenntnis des KS an seine Klasse weiter zu geben. Aber sich dann drohend hin stellen ( wie ich es schon erlebt habe )

" Wer in der morgigen Klausur eine 5 schreibt, dessen ganzes späteres Leben ist verpfuscht ... "

Hey Arroganter; wir leben im neuen Mittelalter. Umberto Eco hat schon Recht. Wesentliches Kennzeichen der Neuzeit ist, dass alles wissen zentral erfasst ist in Enzyklopädien, wohingegen im Mittelalter Etliches in Klosterbüchereien verschimmelte.
Und diejenigen Schüler, die von meinem KS profitieren. Die drehen ihrem Lehrer eine lange Nase; du glaubst doch nicht, dass die dem das auf die Nase binden ...
A Popo neues Mittelalter. Mein Mentor war ja " Harry " ; der war Laborleiter gewesen bei ITT . Und da predigte der in der E-Dynamik

" Streng genommen ist ja die Kapazität ein Tensor und kein Skalar. Genau wie die Gegeninduktivität auch; im UKW Bereich merken Sie das dann schon. "

Da auf einmal brüllt sein Oberassistent wie so ein kommunistischer Störer

" Es gibt kein Lehrbuch, welches zulässt, dass die Kapazität ein Tensor sein könnte. Es ist nicht zulässig, so etwas in der Vorlesung zu sagen; und ich verlange, dass Sie sich dafür vor den Kommilitonen entschuldigen ... "

du weißt doch: Beweise sind nur zulässig nach Zitat. Und zitierfähig sind usschließlich Aristoteles, die Bibel so wie der Hexenhammer ...

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410666
BesondersArroganter
BesondersArroganter

solange man nicht weiß , wo H (der H-Schnittpunkt liegt , oder ein Winkel bekannt ist , kann man mit den normalen Mitteln (trigonometrie , SdPhyth) nix machen.

1081755
Falkenstein
Falkenstein

mein Fehler, die Seiten meinte ich und deren Längen kann man als gegeben betrachten :)

410666
BesondersArroganter
BesondersArroganter

was genau soll denn bekannt sein ? a , b oder c ? Noch andere Längen ? irgendwelche winkel ? Nutze das Dreieck oben in wilmas wiki link.

 

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