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230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000 (Rang: Albert Einstein)

MATHEMATIKAUFGABE (schwer).....

Mann stelle die Zahl 2008 so als Summe natürlich Zahlen dar, dass die Addition der Kehrwerte der Summanden die Zahl 1 ergibt ?


Ergänzung vom 06.12.2007 16:49:

*natürlicher Zahlen


Ergänzung vom 06.12.2007 16:52:

Man kann so viele Summanden wie man will erstellen!

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6 Antworten

257069
samjaf

samjaf

Rang: Doktorand (2.118) | Mathematik (2.648), Mathe Frage (71)

15 Minuten nachdem die Frage gestellt worden ist (06.12.2007 17:03)

1

Ich werde diese Antwort immer weiter ergänzen, je nachdem, wie weit ich bei meinen Überlegungen bin.

1.: Da 2008 durch 8 Teilbar ist kann man statt bis 2008 auch bis 251 hochrechnen, die Kehrwerte müssen dann nur 0,125 ergeben. Das erspart schonmal das rumhampeln mit den großen Zahlen....


Ergänzung vom 06.12.2007 17:17:

OK, ich finde keinen logischen Ansatz, der was bring. ich werde das mal mit dem Computer brutforcen....


Ergänzung vom 06.12.2007 17:31:

Die Computergenauigkeit reicht leider nicht aus... hrmpf, sehr gemein....


Ergänzung vom 06.12.2007 18:00:

ICH HABS!

Alle Summanden müssen vielfache der Primfaktoren sein, also in diesem Falle 2 und 251.

Das Ergebnis lautet: 8+3*16+11*32+21*64+2*128=2008
und 1/8+3/16+11/32+21/64+2/128=1


Ergänzung vom 06.12.2007 19:37:

zu den a_i habe ich leider noch keine Funktion gefunden, aber die Summenformeln sind zumindest schonmal ein Anfang.

11 Kommentare

230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000

wadde ma also:

2008/8= 251 das heißt dann das wir 8 Summanden haben jeweils 251

--> 8 Kehrwerte (8* 1/251)

meinst du das so?

257069
samjaf
samjaf

nein, nicht ganz. die überlegung hat auch schon wieder wackelige beine bekommen, da das vorraussetzen würde, dass es für 251 eine lösung geben würde, dann würde nämlich jeder summand bei 2008 8mal vorkommen, und das muss ja nicht gegeben sein....

280515
Raegan
Raegan

also erstmal n1 :) weiß man denn schon ob das die einzige möglichkeit ist, wenn ja dann würde ich jetzt nämlich aufhören mit geigeln.....

230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000

nochmal^^:

deine Summanden sind doch: 8+48+352+1344+256 = 2008
jetzt addierst du die Kehrwerte der Summanden =

1/8 + 1/48 + 1/352 + 1/1344 + 1/256 = 1 ?

230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000

bin 11 klasse erst also etwas Rücksicht bitte^^

250892
physikos
physikos

Die Lösung stimmt jedenfalls. :-)
Respekt an Samjaf!

257069
samjaf
samjaf

Danke für das Lob.

Ich kann es nicht beweisen, aber ich glaube, dass es die einzige Lösung ist. Leider habe ich keinen wirklich eleganten Lösungsweg gefunden, es war mir nur klar, dass es vielfache von 2 sein müssen, damit hinterher der Hauptnenner Sinn ergibt.
Also habe ich mir eine Excel-Tabelle gemacht und ein bisschen herumprobiert.
Ich glaube auch nicht, dass es einen schöneren Lösungsweg gibt, da man ja zwangsläufig zwei Gleichungen mit mehr als 2 Unbekannten bekommt. Ums ausprobieren kommt man also nicht herum.
Und @Bodybuilder: 1/8 + 1/48 + 1/352 + 1/1344 + 1/256 = 1 stimmt natürlich nicht.
Aber die Summanden sind ja auch nicht 8, 48, 352, 1344 und 256.
Die Summanden sind:
8,16,16,16,32,32,32,32,32,32,32,32 ,32,32,32,64,64,64,64,64,64,64,64,64,64,6 4,64,64,64,64,64,64,64,64,64,128 und 128 (also 8+3*16+11*32+21*64+2*128)
Und die Kehrwerte DIESER Zahlen (1/8+1/16+1/16+1/16 etc....) addiert ergibt 1.

257069
samjaf
samjaf

Ich habe nochmal nachgedacht: Es kann nur diese eine Lösung geben. Dei Nenner (also die Summanden) müssen ja problemlos aufeinander erweitert werden kann. Ich denke, ich habe auch eine Formel gefunden, die die Lösung direkt liefert. Ich bastel mal ein bisschen mit dem Formeleditor herum und poste das Bild dann als Ergänzung.

230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000

Perfekt man du bist der Mathematiker des Tages :))))))

VIELEN DANKKKK EIN TOP³ * 10^71 ;)

875
Gluon
Gluon

Klasse Antwort!

323526
kltr_66
kltr_66

eine möglichkeit mit insgesamt 25 summanden und 6 unbekannten:

4+4+10+20+20+50+50+50+50+ 50+50+50+50+50+50+50+50+50+
100+200+200+ 200+200+200+200 = 2008



eine weitere möglichkeit mit 21 summanden und 6 unbekannten:

8+8+8+8+8+8+10+50+50+50+5 0+50+
100+200+200+200+200+200+200+200+20 0 = 2008

wobei natürlich die summe der kehrwerte immer exakt 1 ergibt.

lösungen gibt es sicherlich mehr als eine, bin gespannt, ob jemand weiss, ob es mit weniger als insgesamt 21 summanden und/oder fünf unbekannten auch geht?

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289992
JohnTheBoy

JohnTheBoy

Rang: Student (387) | Mathematik (38)

3 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (06.12.2007 19:41)

2

Also ich hätte da eine möglichkeit. Die Herleitung ist allerdings noch in Arbeit, da ich es lediglich durch ein bisschen Experimentieren im Excel gefunden habe.

8 [3 mal], 16 [2 mal], 32 [15 mal], 64, 128, 256, 512 [2 mal]

3*8+2*16+15*32+64+128+256+512 = 2008
3*8^-1+2*16^-1+15*32^-1+64^-1+128^- 1+256^-1+512^-1 = 1


Ergänzung vom 06.12.2007 20:36:

es heißt natürlich
3*8+2*16+15*32+64+128+256+2*51 2 = 2008
3*8^-1+2*16^-1+15*32^-1+64^-1+128^- 1+256^-1+2*512^-1 = 1

ich habe die 2 vor der 512 vergessen

5 Kommentare

257069
samjaf
samjaf

Ich muss leider widersprechen:
http://www.google.com/search?hl=en&client=firefox-a&rls=org.mozilla%3Ade... kopieren

(3 / 8) + (2 / 16) + (15 / 32) + (1 / 64) + (1 / 128) + (1 / 256) + (1 / 512) = 0.998046875

257069
samjaf
samjaf

Also wenn du aufaddiert kommst du zu 511/512, aber nicht zu 1.
Schade, ne zweite Lösung wäre was feines gewesen. Dann müsste ich mich nicht auf die Suche nach einem Gleichungssystem machen, dass die Lösung direkt liefert ;)

289992
JohnTheBoy
JohnTheBoy

sorry, aber es steht oben ganz richtig
8 [3 mal], 16 [2 mal], 32 [15 mal], 64, 128, 256, 512 [2 mal]
ich hab's in der eile leider falsch eingesetzt

3*8+2*16+15*32+64+128+256+2 *512 = 2008
3*8^-1+2*16^-1+15*32^-1+64^-1+128^- 1+256^-1+2*512^-1 = 1

257069
samjaf
samjaf

achso... ok, dann scheint es mehrere Lösungen zu geben.Ob es noch mehr Lösungen gibt? Wenn nicht muss es ja auf eine quadratische Gleichung hinauslaufen....

289992
JohnTheBoy
JohnTheBoy

es gibt noch einige weitere lösungen...
z.B.
8+16+24*32+3*64+4*256


allerdings habe ich immernoch keine formel dahinter entdeckt

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23108
Jethro.Tull522

Jethro.Tull522

Rang: Albert Einstein (15.516) | Mathematik (4.014), Mathe Frage (15), mathematik und fragen (15)

3 Stunden nachdem die Frage gestellt worden ist (06.12.2007 19:48)

3

Gleichung I:x+y = 2008

Gleichung II:1/x+1/y = 1

Gleichung I nach x aufloesen:x+y = 2008
x = -y+2008

Gleichung II nach x aufloesen: y+x = 1
xy
x xy -y+1
=-
x *(+) = - -y+1
-y+1

Gleichungen zusammengesetzt:-y+2008 = - -y+1
-y+2008 = -y+1
2008 = 1
0 = -2007
keine Lösung...

Das Gleichungssystem ist nicht lösbar. (Die Graphen verlaufen parallel.

1 Kommentar

257069
samjaf
samjaf

Es dürfen beliebig viele Summanden benutzt werden, nicht nur zwei.
Für zwei Summanden ist die Lösung aber schön formuliert ;)

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Diese Frage:

  • Kommentare
103433
Balendilin
Balendilin

Ist bekannt, um wieviele Summanden es sich handelt?

257069
samjaf
samjaf

gib uns mal n bissl Zeit, um darüber zu grübeln, das kriegen wir schon raus ;)

230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000

danke sehr keine Angst Leute ist keine Hausaufgabe^^

das ist so ein Beispiel für die Aufgaben in einem mathematikwettbewerb

103433
Balendilin
Balendilin

Mit zwei Summanden geht es auf jeden Fall nicht. Weiter komm ich momentan nicht. Sorry!

230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000

du kannst so viele Summanden benutzen wie du willst^^

103433
Balendilin
Balendilin

Ja, aber vielleicht hilft dir das Ergebnis bei deinen Überlegungen weiter.

295341
Carl
Carl

Das ist keine Übungsaufgabe, sondern eine Aufgabe aus dem Bundeswettbewerb Mathematik 2007. http://www.bundeswettbewerb-mathematik.de/ kopieren
Abgesehen davon, dass es gegen das Regelwerk verstößt, finde ich es auch moralisch sehr verwerflich, dann hier auch noch so dreist zu lügen!

MfG
Carl

230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000

laber ma nicht guck doch den zweiten kommentar über deinen an!

das ist die aufgabe vom wettbewerb 2008

wenn man kene ahnung hat einfach ma zurückhalten

333354
deaktivierter_User
deaktivierter_User

Meines Erachtens hat Carl ganz recht. Ob es jetzt nun "2007" oder "2008" ist (die Aufgaben sind 2007 verteilt worden, die Antworten sind in 2008 abzugeben) ist unerheblich. Es ist ein laufender Wettbewerb. Den Kommentar von Bodybuilder (Nobelpreisträger !?!) verstehe ich weder vom Tonfall noch vom Inhalt her nicht. Ich denke einfach, er/sie ist ertappt worden.
Zu meiner Zeit hat man die Aufgaben des Bundeswettbewerbes Mathematik noch selbst gelöst, man unterzeichnete auch eine entsprechende Erkärung dazu. Das ist zugegebenermaßen schon einige Jahre her.

230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000

haha

ertapt?

werd ich jetzt ins Loch geschickt

295341
Carl
Carl

Okay, ich hab mich mit der Jahreszahl vertan, stimmt es heißt "Bundeswettbewerbm Mathematik 2008". Aber staube sagte es schon, trotzdem ist ein laufender Wettbewerb, Die Erklärung muss man auch immernoch unterschreiben, soweit ich weiß.
Ich finde es einfach nur ziemlich arm von Dir, Bodybuilder1000, die Aufgaben lösen zu lassen anstatt sie selbst zu bearbeiten, "Ins Loch geschickt" wirst du deshalb nicht.

230163
Bodybuilder1000
Bodybuilder1000

ich kam selber nicht auf die lösung ist es schlimm wenn ich hier hilfe fordere?

 

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