Was sind Nullstellen, Polstellen und hebbare Definitionslücken einer Funktion? Wieso muss eine Integralfunktion eine Nullstelle haben?

Grundbegriffe der Kurvendiskussion: Nullstellen, hebbare Definitionslücken und Integralfunktion

Hier folgt ein schneller Überblick für Dich, was Nullstellen sind, was hebbare Definitionslücken bedeuten und warum eine Integralfunktion zwingend eine Nullstelle haben muss. Einfach und kurz erklärt!

Was ist eine Nullstelle?

Eine Nullstelle ist die Stelle, an der der Graf die X-Achse schneidet.
Nicht jede Funktion muss eine Nullstelle haben. Du kennst die Grundfunktionen x und die ihre Potenzen. Wenn diese verschoben werden, kann es zu mehreren oder keinen Nullstellen kommen.
Eine lineare Funktion kann demnach nur eine Nullstelle haben.
Eine quadratische Funktion kann zwei Nullstellen haben.
Funktionen höherer Potenzen können entsprechend ihrer höchsten Potenz eine Anzahl an Nullstellen haben.

Du errechnest die Nullstellen, indem Du die Funktion f(x)=y=0 setzt. Dabei helfen Dir je nach Funktion die p-q-Formel, die Mitternachtsformel oder aber die Polynomdivision.

Was ist eine hebbare Definitionslücke?

Diese Besonderheit gibt es bei gebrochen rationalen Funktionen. Wenn die Nullstelle im Nenner und Zähler gleich ist. Außerdem musst Du die Nullstelle im Nenner kürzen können.

Die hebbare Definitionslücke oder auch stetig hebbare Definitionslücke genannt beschreibt eine Stelle in Deinem Graf, die es nicht gibt. Sie ist nicht definiert. Du machst sie durch einen kleinen Kreis sichtbar. Damit unterbrichst Du Deinen Grafen.

Warum muss eine Integralfunktion mindestens eine Nullstelle haben?

Mit einer Integralfunktion berechnest Du eine Fläche zwischen zwei gedachten parallel zueinander verlaufenden Geraden.
Genauer gesagt ist eine Integralfunktion Instrument, um die Flächenbilanz auszuweisen. Wenn Du Dir jetzt eine einfache Sinusfunktion vorstellst, weißt Du, dass der Verlauf unendlich lang ist. Du musst aber an einer Stelle beginnen, um eine bestimmte Fläche definieren zu können. Genau dieser Punkt a ist definiert. x hingegen ist es nicht, x kann jeden beliebigen Wert annehmen. Aber x muss auch den Wert null annehmen können. Wenn a gleich x gleich null ist, ist die Fläche ebenfalls null, zwischen den gedachten Parallelen läge kein Raum. Die Geraden lägen übereinander.

Wenn x dann also null ist, muss sich dies in der Integralfunktion widerspiegeln. Und das passiert durch die Nullstelle.