Du willst unbedingt wissen, was eine Polstelle ist und die Erklärungen in den Mathebüchern sind zu kompliziert? Dann lies diesen kurzen Beitrag in zwei Minuten!

Wir haben eine gebrochen rationale Funktion. Dies ist eine Funktion, bei der es sich um eine Bruchzahl handelt.

Wir wissen, dass wir nicht durch null teilen dürfen. Darum musst Du als Erstes testen, welche Zahlen Du nicht für X einsetzten, darfst, weil dann der Nenner Null ergeben würde.
„Du setzt den Nenner gleich null.“

Diese Zahlen, auf die das zutrifft, sind in Deiner Definitionsmenge eine Definitionslücke. Mit dieser oder diesen Zahlen, die Du herausgefunden hast, ist die Funktion nicht definiert!
Du liest dies wie folgt: „Die Definitionsmenge umfasst alle reellen Zahlen außer X“.

Vorsichtig bei quadratischen Funktionen: Schreibe immer Plus und Minus von einer Zahl auf, weil sie quadriert das gleiche Ergebnis liefern! Oft liegt hier in der Mathematikklausur der Fehlerteufel.

Tipp: Zeichne Dir auf, wie Funktionen aussehen, die keine Potenz haben, eine quadratische Potenz haben, kubisch geformt sind, also „hoch 3“ und so weiter. Du hast es dann leichter, Dir klar zu machen, welche Polstellen sinnvoll sind und wie viele es geben kann.

Von der Definitionslücke zur Polstelle:

Du hast für Deine Definitionslücke zwei Optionen: Polstelle oder stetig hebbare Definitionslücke?

Es kann sein, dass sich der Graph unendlich (asymptotisch) an eine verschiebbare Parallele der y-Achse annähern; anders gesagt, der Wert auf der x-Achse, durch den die Parallele geht, ist Deine Polstelle.

Die Polstelle kann entweder mit oder ohne Vorzeichenwechsel sein.
Das bedeutet, die asymptotische Annäherung kann sowohl jeweils im positiven Bereich oder jeweils im negativen Bereich stattfinden. In diesem Fall spricht der Mathematiker von einer Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.
Wenn sich ein Teil des Graphen von Plus und der andere sich aus dem Minusbereich her annähern, dann handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Sonderfall stetig hebbare Definitionslücke:

Hier handelt es sich nicht um eine Polstelle. Der Graf verläuft links und rechts der nicht definierten Stelle einfach weiter.
Du hast diesen Fall, wenn die ausgeklammerte Definitionsmenge für den Nenner auch für den Zähler gilt.

Vorsicht: In komplexen Funktionen kann dies für eine der Zahlen aus der Definitionsmenge gelten und muss nicht für alle sein. Du kannst also prinzipiell in einer Funktion sowohl Polstellen als auch stetig hebbare Definitionslücken vorfinden.

In Kürze:

Eine Polstelle ist der Bereich, für den die Funktion nicht definiert ist. Sie tritt bei gebrochen rationalen Funktionen auf, weil nicht durch null geteilt werden kann.